Limite

El límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros.

El concepto se puede generalizar a otros espacios topológicos, como pueden ser las redes topológicas; de la misma manera, es definido y utilizado en otras ramas de la matemática, como puede ser la teoría de categorías.

Para fórmulas, el límite se utiliza usualmente de forma abreviada mediante lim como en lim(an) = a o se representa mediante la flecha (→) como en an → a.

La definición de límite matemático para el caso de una sucesión nos indica intuitivamente que los términos de la sucesión se aproximan arbitrariamente a un único número o punto L, si existe, para valores grandes de  N. Esta definición es muy parecida a la definición del límite de una función cuando X tiende a ∞.

Formalmente, se dice que la sucesión An tiende hasta su límite L, o que converge o es convergente (a L), y se denota como:

lim An= L

L→∞

 

Si y sólo si para todo valor real ε>0 se puede encontrar un número natural  N tal que todos los términos de la sucesión, a partir de un cierto valor natural  n mayor que N converjan a  L cuando  crezca sin cota.

Propiedades de los límites

Límite de una constante

lim k = k

x -> a

 

Límite de una suma

lim [f (x) + g (x)]= lim f (x) + lim g (x)

x -> a                    x -> a       x -> a

Límite de un producto

lim[f (x) . g (x)]= lim f (x) . lim g (x)

x -> a                    x -> a       x -> a

Límite de un cociente

lim[f (x)/ g (x)] = lim  f(x) / lim  g(x)  si lim g= 0

x ->a                  x ->a      x ->a

Límite de una potencia

lim [f(x)g(x)] = lim [f(x)]lim g(x)            si f > (0)

x ->a               x ->a      x ->a

Límite de una función

lim g[f(x)] = g lim f (x)

x ->a              x ->a

Límite de una raíz

lim n raiz de f(x) =  n raiz de lim f (x)  si no es impar

x ->a                           x ->a      si no es par f >(0)

 

limite de un logaritmo.

lim [loga f(x) ]= loga [lim f (x)] si a>0 y f (x) > 0

x ->a                           x ->a

Límites Indeterminados

 

Se llaman límites indeterminados a los que presentan alguna de estas formas:

                              

Contra lo que se pudiera pensar, un límite de la forma ¥ - ¥ no da, en general, como resultado cero, tampoco un límite de la forma 1¥ da siempre como resultado uno. Por esta razón se les llama límites indeterminados y se requiere hacer un estudio particular para cada caso.

 

Obsérvese que ya se han estudiado varios casos de indeterminaciones de la  -¥ a +¥ pasando por todos los valores intermedios.

Ejemplo:

 

Resolución:

 

• El primer factor tiene por límite cero ya que el grado del numerador es menor que el del denominador.

 

• El segundo factor tiene por límite  pues el grado del numerador es mayor que el del denominador.

 

• El límite es por tanto de la forma 0•. Indeterminado.

 

• Multiplicando las dos fracciones:

   

• Al ser un cociente de polinomios de igual grado,

                                 

Factorización

En álgebra, la factorización es expresar un objeto o número (por ejemplo, un número compuesto, una matriz o un polinomio) como producto de otros objetos más pequeños (factores), (en el caso de números debemos utilizar los números primos) que, al multiplicarlos todos, resulta el objeto original. Por ejemplo, el número 15 se factoriza en números primos3 × 5; y a²-b² se factoriza como binomio conjugados(a - b)(a + b).

La factorización de enteros en números primos se describe en el teorema fundamental de la aritmética y la factorización de polinomios (en ciertos contextos) en el teorema fundamental del álgebra.

Existes varios tipos de factorización entre ellas están:

 Factorización de dos cuadrados perfectos.

 Suma o diferencia.

 Un trinomio de la forma X3+ax+b.

 Cuadrado de un binomio.

 Cubo de un binomio.

 Suma por la diferencia de términos.

 Factor racionalizarte.