jueves, 22 de noviembre de 2012

Funciones

En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado condominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del condominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito). Recordemos que una función es una correspondencia entre los elementos de un conjunto de partida, llamado Dominio, y los elementos de un conjunto de llegada, llamado Condominio, de forma tal que a cada elemento del dominio le corresponde uno, y solo uno, en el condominio.
Tipos de Funciones
Función lineal
Función Cuadrática
Función Racional
Función Enésima
Función Inversa
Función Exponencial
Función Cubica
Función logarítmica

Funcion Lineal

Es una función cuyo dominio son todos los números reales, cuyo condominio son también todos los números reales, y cuya expresión analítica es un polinomio de primer grado.
f: R —> R / f(x) = m.x+b donde m y b son números reales, es una función lineal.
Este último renglón se lee: f de R en R tal que f de equis es igual a m.x+b
Por ejemplo, son funciones lineales f: f(x) = 2x+5 , g: g(x) = -3x+7, h: h(x) = 4
Las funciones lineales son polinomios de primer grado.
Recordemos que los polinomios de primer grado tienen la variable elevada al exponente 1. Es habitual no escribir el exponente cuando este es 1.
Ejemplos de funciones lineales
a (x)= 2x + 7;
b(x)= -4x + 3;
f(x)= 2x + 5 + 7x
De estas funciones, vemos que la f no está reducida y ordenada como las demás. Podemos reducir términos semejantes para que la expresión quede de una forma más sencilla,
f(x)= 9x + 2
Tambien recordemos que hemos convenido que cuando no establecemos en forma explicita el dominio y el codominio de una función, supondremos que es el mayor conjunto posible en cada caso.
Por ejemplo, si hablamos de la función f, de dominio real y codominio real, tal que f(x)= 2x-6, anotaremos f: R ——-> R / f(x) = 2x-6 Siendo el dominio todos los números reales, R, y el codominio también, todos los números reales, R.
Esto se lee " f de R en R tal que f de x es igual a 2x-6"

Función cuadrática

Una función cuadrática es aquella que puede escribirse como una ecuación de la forma: f(x) = ax2 + bx + c
Donde a, b y c (llamados términos) son números reales cualesquiera y a es distinto de cero (puede ser mayor o menor que cero, pero no igual que cero). El valor de b y de c sí puede ser cero.
En la ecuación cuadrática cada uno de sus términos tiene un nombre.
Así,
ax2 es el término cuadrático
bx es el término lineal
c es el término independiente
Cuando estudiamos la ecuación de segundo grado o cuadrática vimos que si la ecuación tiene todos los términos se dice que es una ecuación completa, si a la ecuación le falta el término lineal o el independiente se dice que la ecuación es incompleta.
Si pudiésemos representar en una gráfica "todos" los puntos [x,f(x)] de una función cuadrática, obtendríamos siempre una curva llamada parábola.
 
Parábola del puente, una función cuadrática.
Como contrapartida, diremos que una parábola es la representación gráfica de una función cuadrática.
Dicha parábola tendrá algunas características o elementos bien definidos dependiendo de los valores de la ecuación que la generan.
Vértice
Orientación o concavidad
Una primera característica es la orientación o concavidad de la parábola. Hablamos de parábola cóncava si sus ramas o brazos se orientan hacia arriba y hablamos de parábola convexa si sus ramas o brazos se orientan hacia abajo. Esta distinta orientación está definida por el valor (el signo) que tenga el término cuadrático (la ax2):
Si  a > 0 (positivo) la parábola es cóncava o con puntas hacia arriba, como en f(x) = 2x2 − 3x – 5
 
Si  a < 0 (negativo) la parábola es convexa o con puntas hacia abajo, como en f(x) = −3x2 + 2x + 3
 
Además, cuanto mayor sea |a| (el valor absoluto de a), más cerrada es la parábola.
Puntos de corte en el eje de las abscisas (Raíces o soluciones) (eje de las X) Otra característica o elemento fundamental para graficar una función cuadrática la da el valor o los valores que adquiera x, los cuales deben calcularse. Ahora, para calcular las raíces (soluciones) de cualquier función cuadrática calculamos f (x) = 0.
Esto significa que las raíces (soluciones) de una función cuadrática son aquellos valores  de x  para los cuales la expresión vale 0; es decir, los valores de x tales que y = 0; que es lo mismo que f(x) = 0.
Entonces hacemos ax² + bx +c = 0
Como la ecuación ax² + bx +c = 0 posee un término de segundo grado, otro de primer grado y un término constante, no podemos aplicar las propiedades de las ecuaciones, entonces, para resolverla usamos la fórmula:
 
Entonces, las raíces o soluciones de la ecuación cuadrática nos indican los puntos de intersección de la parábola con el eje de las X (abscisas).
Respecto a esta intersección, se pueden dar tres casos:
Que corte al eje X en dos puntos distintos, que corte al eje X en un solo punto (es tangente al eje x), que no corte al eje X
Esta característica se puede determinar analizando el discriminante, ya visto en las ecuaciones cuadráticas.
Punto de corte en el eje de las ordenadas (eje de las Y)
En el eje de ordenadas (Y) la primera coordenada es cero, por lo que el punto de corte en el eje de las ordenadas lo marca el valor de c (0, c).

Función Racional

Si P(x) y Q(x) son polinomios, la función de la forma:
f(x)=P(x)/Q(x)
Se llama una función racional, donde Q(x) es diferente de cero.
Ejemplos:
f(x)= 1/x; g(x)= x-3/x+1; h(x)= 6x-1
El dominio de las funciones racionales es el conjunto de todos los números reales tal que el denominador sea diferente de cero.
Teorema: Sea f una función racional definida de la forma:
f(x)=P(x)/Q(x)
Donde P(x) y Q(x) son polinomios. Si a es un número real que Q(a) = 0 y P(a) es diferente de cero, entonces la recta x = a es una asíntota vertical de la gráfica de y = f(x).

Función Raíz Enésima

Sea n un número natural no nulo. La función X --> Xn. Define una biyección, de |R.
Hacia |R.
   
Si n es impar, y de |R +
= [0; +∞ [si n es par.
Se llama función raíz enésima o función raíz de orden n a su función recíproca, que se nota de dos maneras:
   
La raíz de orden dos se llama raíz cuadrada y, por ser la más frecuente, se escribe sin superíndice:
  
Raiz de X
En vez de
 
2 raiz de X
 
La raíz de orden tres se llama raíz cúbica
 
3 raiz de X
 
La raíz cuarta se calcula así:
4 raiz de X = raiz de raiz de X
 
Existe un método manual de calcular la raíz cuadrada parecida a una división. El cálculo efectivo de la raíz se hace mediante las funciones logaritmo y exponencial:
N raiz de X = Expo (lnx/n)= e elevado a lnx/n
 
Esta relación es también valida para valores no enteros de n, aunque no se suele hablar de "raíz de orden 2,5" por ejemplo.
Todos los ordenadores y calculadoras emplean esta fórmula. El problema es que este cálculo no funciona con los x negativos, porque el logaritmo usual solo está definido en]0; +∞ [.-00, +00]
Existe una tendencia, todavía minoritaria, de seguir la definición de las calculadores y por tanto de restringir el dominio de definición de las raíces a]0; +∞.

Función Inversa

Dada una función , se llama función inversa de y se denota por a otra función que para cualquier valor del dominio de se cumple que:
(fºf-1)(x)=x
(f-1ºf)(x)=x
No todas las funciones tienen inversa, para que exista se tiene que cumplir que para cada valor del recorrido de f , proviene de un único valor del dominio .
Para calcular la función inversa:
a) Se cambian los nombres de X e Y.
b) Se despeja la Y.
Ejemplo
Calcula la inversa de la función Y= 3x-2.
Primero intercambiamos la X y la Y: X=3Y-2 y después despejamos la Y:
X=3Y-2
3Y=X+2
Y=X+2/3
Luego la función inversa de f(x)=3X-2 es f-1(x)=x+2/3.
Vamos a comprobar que efectivamente es la inversa:
(fºf-1)(x)= f(f-1(x))= f(x+2/3)=3.x+2/3-2= X
(f-1ºf)(x)= f-1(f(x))=f-1(3x-2)=3x-2+2/3=3

función exponencial

Es conocida formalmente como la función real ex, donde es el número de Euler, aproximadamente 2.71828; esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su derivada, la misma función.
Se denota equivalentemente como f(x)=ex o exp(x), donde e es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la función inversa del logaritmo natural.
Se llaman así a todas aquellas funciones de la forma f(x) = bx, en donde la base b, es una constante y el exponente la variable independiente. Estas funciones tienen gran aplicación en campos muy diversos como la biología, administración, economía, química, física e ingeniería.
Una función exponencial exige que la base sea siempre positiva y diferente de uno (b>0 y b≠1). La condición que b sea diferente de uno se impone, debido a que al reemplazar a b por 1, la función bx se transforma en la función constante f(x) = 1. La base no puede ser negativa porque funciones de la forma f(x)=(-9)1/2 no tendrían sentido en los números reales.
El dominio de la función exponencial está formada por el conjunto de los números reales y su recorrido está representado por el conjunto de los números positivos.
Propiedades
Las funciones exponenciales (y exponenciales en base distinta a e) satisfacen las siguientes propiedades generales.
Son las únicas funciones que son igual a su derivada (multiplicada por una constante, en el caso de que tengan una base distinta a e)
exp (X+Y)= exp(x).exp(
exp (X-Y)= exp(x)/exp(y)
exp (-X)= 1/exp(x)=0
exp (0)= 1
Su límite en - ∞ es 0, y en + ∞ es + ∞.