Funciones

En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado condominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del condominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito). Recordemos que una función es una correspondencia entre los elementos de un conjunto de partida, llamado Dominio, y los elementos de un conjunto de llegada, llamado Condominio, de forma tal que a cada elemento del dominio le corresponde uno, y solo uno, en el condominio.

Tipos de Funciones

Función lineal

Función Cuadrática

Función Racional

Función Enésima

Función Inversa

Función Exponencial

Función Cubica

Función logarítmica

Funcion Lineal

Es una función cuyo dominio son todos los números reales, cuyo condominio son también todos los números reales, y cuya expresión analítica es un polinomio de primer grado.

f: R —> R / f(x) = m.x+b donde m y b son números reales, es una función lineal.

Este último renglón se lee: f de R en R tal que f de equis es igual a m.x+b

Por ejemplo, son funciones lineales f: f(x) = 2x+5 , g: g(x) = -3x+7, h: h(x) = 4

Las funciones lineales son polinomios de primer grado.

Recordemos que los polinomios de primer grado tienen la variable elevada al exponente 1. Es habitual no escribir el exponente cuando este es 1.

Ejemplos de funciones lineales

a (x)= 2x + 7;

b(x)= -4x + 3;

f(x)= 2x + 5 + 7x

De estas funciones, vemos que la f no está reducida y ordenada como las demás. Podemos reducir términos semejantes para que la expresión quede de una forma más sencilla,

f(x)= 9x + 2

Tambien recordemos que hemos convenido que cuando no establecemos en forma explicita el dominio y el codominio de una función, supondremos que es el mayor conjunto posible en cada caso.

Por ejemplo, si hablamos de la función f, de dominio real y codominio real, tal que f(x)= 2x-6, anotaremos f: R ——-> R / f(x) = 2x-6 Siendo el dominio todos los números reales, R, y el codominio también, todos los números reales, R.

Esto se lee " f de R en R tal que f de x es igual a 2x-6"

Función cuadrática

Una función cuadrática es aquella que puede escribirse como una ecuación de la forma: f(x) = ax2 + bx + c

Donde a, b y c (llamados términos) son números reales cualesquiera y a es distinto de cero (puede ser mayor o menor que cero, pero no igual que cero). El valor de b y de c sí puede ser cero.

En la ecuación cuadrática cada uno de sus términos tiene un nombre.

Así,

ax2 es el término cuadrático

bx es el término lineal

c es el término independiente

Cuando estudiamos la ecuación de segundo grado o cuadrática vimos que si la ecuación tiene todos los términos se dice que es una ecuación completa, si a la ecuación le falta el término lineal o el independiente se dice que la ecuación es incompleta.

Si pudiésemos representar en una gráfica "todos" los puntos [x,f(x)] de una función cuadrática, obtendríamos siempre una curva llamada parábola.

 

Parábola del puente, una función cuadrática.

Como contrapartida, diremos que una parábola es la representación gráfica de una función cuadrática.

Dicha parábola tendrá algunas características o elementos bien definidos dependiendo de los valores de la ecuación que la generan.

Vértice

Orientación o concavidad

Una primera característica es la orientación o concavidad de la parábola. Hablamos de parábola cóncava si sus ramas o brazos se orientan hacia arriba y hablamos de parábola convexa si sus ramas o brazos se orientan hacia abajo. Esta distinta orientación está definida por el valor (el signo) que tenga el término cuadrático (la ax2):

Si  a > 0 (positivo) la parábola es cóncava o con puntas hacia arriba, como en f(x) = 2x2 − 3x – 5

 

Si  a < 0 (negativo) la parábola es convexa o con puntas hacia abajo, como en f(x) = −3x2 + 2x + 3

 

Además, cuanto mayor sea |a| (el valor absoluto de a), más cerrada es la parábola.

Puntos de corte en el eje de las abscisas (Raíces o soluciones) (eje de las X) Otra característica o elemento fundamental para graficar una función cuadrática la da el valor o los valores que adquiera x, los cuales deben calcularse. Ahora, para calcular las raíces (soluciones) de cualquier función cuadrática calculamos f (x) = 0.

Esto significa que las raíces (soluciones) de una función cuadrática son aquellos valores  de x  para los cuales la expresión vale 0; es decir, los valores de x tales que y = 0; que es lo mismo que f(x) = 0.

Entonces hacemos ax² + bx +c = 0

Como la ecuación ax² + bx +c = 0 posee un término de segundo grado, otro de primer grado y un término constante, no podemos aplicar las propiedades de las ecuaciones, entonces, para resolverla usamos la fórmula:

 

Entonces, las raíces o soluciones de la ecuación cuadrática nos indican los puntos de intersección de la parábola con el eje de las X (abscisas).

Respecto a esta intersección, se pueden dar tres casos:

Que corte al eje X en dos puntos distintos, que corte al eje X en un solo punto (es tangente al eje x), que no corte al eje X

Esta característica se puede determinar analizando el discriminante, ya visto en las ecuaciones cuadráticas.

Punto de corte en el eje de las ordenadas (eje de las Y)

En el eje de ordenadas (Y) la primera coordenada es cero, por lo que el punto de corte en el eje de las ordenadas lo marca el valor de c (0, c).

Función Racional

Si P(x) y Q(x) son polinomios, la función de la forma:

f(x)=P(x)/Q(x)

Se llama una función racional, donde Q(x) es diferente de cero.

Ejemplos:

f(x)= 1/x; g(x)= x-3/x+1; h(x)= 6x-1

El dominio de las funciones racionales es el conjunto de todos los números reales tal que el denominador sea diferente de cero.

Teorema: Sea f una función racional definida de la forma:

f(x)=P(x)/Q(x)

Donde P(x) y Q(x) son polinomios. Si a es un número real que Q(a) = 0 y P(a) es diferente de cero, entonces la recta x = a es una asíntota vertical de la gráfica de y = f(x).

Función Raíz Enésima

Sea n un número natural no nulo. La función X --> Xn. Define una biyección, de |R.

Hacia |R.

   

Si n es impar, y de |R +

= [0; +∞ [si n es par.

Se llama función raíz enésima o función raíz de orden n a su función recíproca, que se nota de dos maneras:

   

La raíz de orden dos se llama raíz cuadrada y, por ser la más frecuente, se escribe sin superíndice:

  

Raiz de X

En vez de

 

2 raiz de X

 

La raíz de orden tres se llama raíz cúbica

 

3 raiz de X

 

La raíz cuarta se calcula así:

4 raiz de X = raiz de raiz de X

 

Existe un método manual de calcular la raíz cuadrada parecida a una división. El cálculo efectivo de la raíz se hace mediante las funciones logaritmo y exponencial:

N raiz de X = Expo (lnx/n)= e elevado a lnx/n

 

Esta relación es también valida para valores no enteros de n, aunque no se suele hablar de "raíz de orden 2,5" por ejemplo.

Todos los ordenadores y calculadoras emplean esta fórmula. El problema es que este cálculo no funciona con los x negativos, porque el logaritmo usual solo está definido en]0; +∞ [.-00, +00]

Existe una tendencia, todavía minoritaria, de seguir la definición de las calculadores y por tanto de restringir el dominio de definición de las raíces a]0; +∞.

Función Inversa

Dada una función , se llama función inversa de y se denota por a otra función que para cualquier valor del dominio de se cumple que:

(fºf-1)(x)=x

(f-1ºf)(x)=x

No todas las funciones tienen inversa, para que exista se tiene que cumplir que para cada valor del recorrido de f , proviene de un único valor del dominio .

Para calcular la función inversa:

a) Se cambian los nombres de X e Y.

b) Se despeja la Y.

Ejemplo

Calcula la inversa de la función Y= 3x-2.

Primero intercambiamos la X y la Y: X=3Y-2 y después despejamos la Y:

X=3Y-2

3Y=X+2

Y=X+2/3

Luego la función inversa de f(x)=3X-2 es f-1(x)=x+2/3.

Vamos a comprobar que efectivamente es la inversa:

(fºf-1)(x)= f(f-1(x))= f(x+2/3)=3.x+2/3-2= X

(f-1ºf)(x)= f-1(f(x))=f-1(3x-2)=3x-2+2/3=3

función exponencial

Es conocida formalmente como la función real ex, donde es el número de Euler, aproximadamente 2.71828; esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su derivada, la misma función.

Se denota equivalentemente como f(x)=ex o exp(x), donde e es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la función inversa del logaritmo natural.

Se llaman así a todas aquellas funciones de la forma f(x) = bx, en donde la base b, es una constante y el exponente la variable independiente. Estas funciones tienen gran aplicación en campos muy diversos como la biología, administración, economía, química, física e ingeniería.

Una función exponencial exige que la base sea siempre positiva y diferente de uno (b>0 y b≠1). La condición que b sea diferente de uno se impone, debido a que al reemplazar a b por 1, la función bx se transforma en la función constante f(x) = 1. La base no puede ser negativa porque funciones de la forma f(x)=(-9)1/2 no tendrían sentido en los números reales.

El dominio de la función exponencial está formada por el conjunto de los números reales y su recorrido está representado por el conjunto de los números positivos.

Propiedades

Las funciones exponenciales (y exponenciales en base distinta a e) satisfacen las siguientes propiedades generales.

Son las únicas funciones que son igual a su derivada (multiplicada por una constante, en el caso de que tengan una base distinta a e)

exp (X+Y)= exp(x).exp(

exp (X-Y)= exp(x)/exp(y)

exp (-X)= 1/exp(x)=0

exp (0)= 1

Su límite en - ∞ es 0, y en + ∞ es + ∞.

Funcion Cubica

f(x) = ax3 + bx2 + cx + d tiene como dominio y como recorrido el conjunto de los números reales (Â). Para graficar estas funciones, hay que elaborar una tabla de valores.

Es generalmente utilizada para relacionar volúmenes en determinados espacio o tiempo. Otro ejemplo es el relacionar el crecimiento de un feto en gestación con el hecho de relacionar su distancia de los pies a la cabeza se puede determinar la semanas de gestación del feto. También el hecho de relacionar los vientos o la energía eólica con respecto a la intensidad de estos y su tiempo de duración. Se utiliza más en el campo de la economía y de la física.

Un ejemplo de función cúbica es: y = f(x) = x3, es la llamada: parábola cúbica.

Propiedades

El dominio de la función es la recta real es decir (-α : α)

El recorrido de la función es decir la imagen es la recta real.

La función es simétrica respecto del origen, ya que f(-x)=-f(x).

La función es continua en todo su dominio.

La función es siempre creciente.

La función no tiene asintotas.

La función tiene un punto de corte con el eje Y.

La función puede tener hasta un máximo de 3 puntos de intersección con el eje X.

Funcion logaritmica

Una función se llama logarítmica cuando es de la forma y = log a x donde la base a es un número real y positivo pero distinto de 1, puesto que el resultado sería 0.

Una función logarítmica es aquella que genéricamente se expresa como f (x) == logax, siendo a la base de esta función, que ha de ser positiva y distinta de 1. La función logarítmica es la inversa de la función exponencial.

Propiedades Generales

Los logaritmos, independientemente de la base elegida, cumplen una serie de propiedades comunes que los caracterizan. Así, logaritmo de su base es siempre 1; logb b = 1 ya que b1 = b. El logaritmo de 1 es cero (independientemente de la base); logb 1=0 ya que b0 = 1.

Si el número real a se encuentra dentro del intervalo 0 < a < 1 entonces logb a da un valor negativo o se dice que es un logaritmo negativo. Es evidente, ya que si logaritmo de 1 es cero, entonces valores reales menores que uno serán negativos por ser la función logarítmica estrictamente creciente y cuyo recorrido es (-∞, +∞). También se puede demostrar usando la identidad logarítmica logb(x/y)=logb x - logb y; puesto que a pertenece al intervalo 0 < a < 1, su inverso a-1 será mayor que uno, con lo que logb(a)=logb(1/a-1) = logb 1 - logb(a-1)= -logb(a-1).

Los números negativos no tienen logaritmo en el cuerpo de los reales R, ya que cualesquiera que sea el exponente n, se tendrá siempre que bn será mayor que cero, bn > 0; en consecuencia, no hay ningún valor real de n que pueda satisfacer bn = x cuando x sea menor que 0. Sin embargo, este obstáculo se puede salvar, ampliando el dominio de definición al cuerpo de los números complejos C, pudiendo calcular logaritmos de números negativos usando el logaritmo complejo o recurriendo a la fórmula de Euler.

Limite

El límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros.

El concepto se puede generalizar a otros espacios topológicos, como pueden ser las redes topológicas; de la misma manera, es definido y utilizado en otras ramas de la matemática, como puede ser la teoría de categorías.

Para fórmulas, el límite se utiliza usualmente de forma abreviada mediante lim como en lim(an) = a o se representa mediante la flecha (→) como en an → a.

La definición de límite matemático para el caso de una sucesión nos indica intuitivamente que los términos de la sucesión se aproximan arbitrariamente a un único número o punto L, si existe, para valores grandes de  N. Esta definición es muy parecida a la definición del límite de una función cuando X tiende a ∞.

Formalmente, se dice que la sucesión An tiende hasta su límite L, o que converge o es convergente (a L), y se denota como:

lim An= L

L→∞

 

Si y sólo si para todo valor real ε>0 se puede encontrar un número natural  N tal que todos los términos de la sucesión, a partir de un cierto valor natural  n mayor que N converjan a  L cuando  crezca sin cota.

Propiedades de los límites

Límite de una constante

lim k = k

x -> a

 

Límite de una suma

lim [f (x) + g (x)]= lim f (x) + lim g (x)

x -> a                    x -> a       x -> a

Límite de un producto

lim[f (x) . g (x)]= lim f (x) . lim g (x)

x -> a                    x -> a       x -> a

Límite de un cociente

lim[f (x)/ g (x)] = lim  f(x) / lim  g(x)  si lim g= 0

x ->a                  x ->a      x ->a

Límite de una potencia

lim [f(x)g(x)] = lim [f(x)]lim g(x)            si f > (0)

x ->a               x ->a      x ->a

Límite de una función

lim g[f(x)] = g lim f (x)

x ->a              x ->a

Límite de una raíz

lim n raiz de f(x) =  n raiz de lim f (x)  si no es impar

x ->a                           x ->a      si no es par f >(0)

 

limite de un logaritmo.

lim [loga f(x) ]= loga [lim f (x)] si a>0 y f (x) > 0

x ->a                           x ->a

Límites Indeterminados

 

Se llaman límites indeterminados a los que presentan alguna de estas formas:

                              

Contra lo que se pudiera pensar, un límite de la forma ¥ - ¥ no da, en general, como resultado cero, tampoco un límite de la forma 1¥ da siempre como resultado uno. Por esta razón se les llama límites indeterminados y se requiere hacer un estudio particular para cada caso.

 

Obsérvese que ya se han estudiado varios casos de indeterminaciones de la  -¥ a +¥ pasando por todos los valores intermedios.

Ejemplo:

 

Resolución:

 

• El primer factor tiene por límite cero ya que el grado del numerador es menor que el del denominador.

 

• El segundo factor tiene por límite  pues el grado del numerador es mayor que el del denominador.

 

• El límite es por tanto de la forma 0•. Indeterminado.

 

• Multiplicando las dos fracciones:

   

• Al ser un cociente de polinomios de igual grado,

                                 

Factorización

En álgebra, la factorización es expresar un objeto o número (por ejemplo, un número compuesto, una matriz o un polinomio) como producto de otros objetos más pequeños (factores), (en el caso de números debemos utilizar los números primos) que, al multiplicarlos todos, resulta el objeto original. Por ejemplo, el número 15 se factoriza en números primos3 × 5; y a²-b² se factoriza como binomio conjugados(a - b)(a + b).

La factorización de enteros en números primos se describe en el teorema fundamental de la aritmética y la factorización de polinomios (en ciertos contextos) en el teorema fundamental del álgebra.

Existes varios tipos de factorización entre ellas están:

 Factorización de dos cuadrados perfectos.

 Suma o diferencia.

 Un trinomio de la forma X3+ax+b.

 Cuadrado de un binomio.

 Cubo de un binomio.

 Suma por la diferencia de términos.

 Factor racionalizarte.

Derivada

Es la variación de una variable, se estudia la velocidad de un cambio de una función, como relación entre el cambio de l función y el cambio de la variable. La derivada es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tangente a la grafica de la función en un punto.

La derivada es un concepto que tiene variadas aplicaciones. Se aplica en aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situación. Es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física, Química y Biología, o en ciencias sociales como la Economía y laSociología. Por ejemplo, cuando se refiere a la gráfica de dos dimensiones de , se considera la derivada como la pendiente de la recta tangente del gráfico en el punto . Se puede aproximar la pendiente de esta tangente como el límite cuando la distancia entre los dos puntos que determinan una recta secante tiende a cero, es decir, se transforma la recta secante en una recta tangente. Con esta interpretación, pueden determinarse muchas propiedades geométricas de los gráficos de funciones, tales como concavidad o convexidad.

La definición de derivada es la siguiente:

f'(a)=lim (a+h)-f (a)/ h

h->0

Algunas funciones no tienen derivada en todos o en alguno de sus puntos. Por ejemplo, una función no tiene derivada en los puntos en que se tiene una tangente vertical, una discontinuidad o un punto anguloso. Afortunadamente, gran cantidad de las funciones que se consideran en las aplicaciones son continuas y su gráfica es una curva suave, por lo que es susceptible de derivación.

Las funciones que son diferenciables (derivables si se habla en una sola variable), son aproximables linealmente

.

Historia de la derivada

Los problemas típicos que dieron origen al cálculo infinitesimal, comenzaron a plantearse en la época clásica de la antigua Grecia (siglo III a.c), pero no se encontraron métodos sistemáticos de resolución hasta veinte siglos después (en el siglo XVII por obra de Isaac Newton y Gottfried Leibniz).

En lo que atañe a las derivadas existen dos conceptos de tipo geométrico que le dieron origen:

El problema de la tangente a una curva (Apolonio de Perge)

El Teorema de los extremos: máximos y mínimos (Pierre de Fermat)

En su conjunto dieron origen a lo que modernamente se conoce como cálculo diferencial.

Definición analítica de derivada como un límite

Esquema que muestra los incrementos de la función en x y en y.

En terminología clásica, la diferenciación manifiesta el coeficiente en que una cantidad cambia a consecuencia de un cambio en otra cantidad .

En matemáticas, coeficiente es un factor multiplicativo que pertenece a cierto objeto como una variable, un vector unitario, una función base, etc.

En física, coeficiente es una expresión numérica que mediante alguna fórmula determina las características o propiedades de un cuerpo.

En nuestro caso, observando la gráfica de la derecha, el coeficiente del que hablamos vendría representado en el punto de la función por el resultado de la división representada por la relación , que como puede comprobarse en la gráfica, es un valor que se mantiene constante a lo largo de la línea recta azul que representa la tangente en el punto de la función. Esto es fácil de entender puesto que el tríangulo rectángulo formado en la gráfica con vértice en el punto , por mucho que lo dibujemos más grande, al ser una figura proporcional el resultado de es siempre el mismo.

Esta noción constituye la aproximación más veloz a la derivada, puesto que el acercamiento a la pendiente de la recta tangente es tanto por la derecha como por la izquierda de manera simultánea.

Considerando la función f definida en el intervalo abierto I y un punto a fijo en I, se tiene que la derivada de la función f en el punto se define como sigue:

si este límite existe, de lo contrario, , la derivada, no está definida. Esta última expresión coincide con la velocidad instantánea del movimiento continuo uniforme acelerado en cinemática.

Aunque podrían calcularse todas las derivadas empleando la definición de derivada como un límite, existen reglas bien establecidas, conocidas como teoremas para el cálculo de derivadas, las cuales permiten calcular la derivada de muchas funciones de acuerdo a su forma sin tener que calcular forzosamente el límite. Tales reglas son consecuencia directa de la definición de derivada y de reglas previas, como puede apreciarse en todo buen texto de cálculo infinitesimal.

También puede definirse alternativamente la derivada de una función en cualquier punto de su dominio de la siguiente manera:

La cual representa un acercamiento de la pendiente de la secante a la pendiente de la tangente ya sea por la derecha o por la izquierda según el signo de . El aspecto de este límite está relacionado más con la velocidad instantánea del movimiento uniformemente acelerado que con la pendiente de la recta tangente a una curva.

No obstante su aparente diferencia, el cálculo de la derivada por definición con cualquiera de los límites anteriormente expresados, proporciona siempre el mismo resultado.